什么是勾股数？
简单来说，直角三角形的三条边长就是一组勾股数
规律
首先我们设A，B，C为一组勾股数，其中A≥3
当A为奇数时：将A平方后拆成连续两个数得到B，C
3^2=9，9=4+5，则3，4，5是一组勾股数
5^2=25，25=12+13，则5，12，13是一组勾股数
7^2=49，49=24+25，则7，24，25是一组勾股数
9^2=81，81=40+41，则9，40，41是一组勾股数
当A为偶数时：将A平方的一半拆成差2的两个数得到B，C
4^2=16，16/2=8，8=3+5，则3，4，5是一组勾股数
6^2=36，36/2=18，18=8+10，则6，8，10是一组勾股数
8^2=64，64/2=32，32=15+17，则8，15，17是一组勾股数
10^2=100，100/2=50，50=24+26，则10，24，26是一组勾股数
12^2=144，144/2=72，72=35+37，则12，35，37是一组勾股数
证明
首先我们需要知道费马大定理的证明方法
当正整数n>2n>2n>2时，关于x,y,zx,y,zx,y,z的方程An+Bn=CnA^{n}+B^{n}=C^{n}An+Bn=Cn没有正整数解。
当n=2 时，即勾股定理A2+B2=C2A^{2}+B^{2}=C^{2}A2+B2=C2
当A为奇数时，设A=2K+1A=2K+1A=2K+1(K≥1)
则A2=4K2+4K+1A^{2}=4K^{2}+4K+1A2=4K2+4K+1
B=2K2+2KB=2K^{2}+2KB=2K2+2K
C=2K2+2K+1C=2K^{2}+2K+1C=2K2+2K+1
B2=4K4+8K3+4K2B^{2}=4K^{4}+8K^{3}+4K^{2}B2=4K4+8K3+4K2
C2=4K4+8K3+8K2+4K+1C^{2}=4K^{4}+8K^{3}+8K^{2}+4K+1C2=4K4+8K3+8K2+4K+1
综上所述：A2+B2=C2A^{2}+B^{2}=C^{2}A2+B2=C2在A为奇数时成立当A为偶数时，设A=2KA=2KA=2K(K≥2)
则A2=4K2A^{2}=4K^{2}A2=4K2
B=K2−1B=K^{2}-1B=K2−1
C=K2+1C=K^{2}+1C=K2+1
B2=K4−2K2+1B^{2}=K^{4}-2K^{2}+1B2=K4−2K2+1
C2=K4+2K2+1C^{2}=K^{4}+2K^{2}+1C2=K4+2K2+1
综上所述：A2+B2=C2A^{2}+B^{2}=C^{2}A2+B2=C2在A为偶数时成立
证毕